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图的连通性判断与并查集的应用

图的连通性判断问题是图论中的经典难题之一。给定两个初始相同的空图，我们需要在每次连边操作后，判断这两个图中任意两点是否连通。解决这个问题，可以采用并查集（Union-Find）结构，通过判断图中的连通性是否相同，从而快速完成判断。

合并区域并判断连通性

与其他方法不同，题目采用了一种特殊的并查集变种：将两个图都模拟为并查集。他在每个连边的时刻，对于每个图，沿着新增的边进行合并操作。具体而言，每个图都有自己的并查集实例，同时每次连边时，两个图中都执行一次合并操作：

• 对于第一个图，在连边后，立即将这条边加入并查集队列处理。
• 同样地，对第二个图也将这条边加入队列进行处理。
• 每次处理队列中的边前，首先需要判断这条边是否已被过滤进入连通的两个区域。
• 只有当两个图中队列处理完毕，两个图的连通性处理完成后，才能判断两个图是否连通。

这与传统的并查集操作不同，这种双并查集的操作方式可以确保在每次操作后，两个图的连通性保持一致。如果在某次操作后，两个图的队列都为空，则说明两个图的连通性完全一致。

这个解决方案的复杂度主要取决于边的数量和连通区域的大小。在平均情况下，复杂度为 O(m*K)，其中 m 是操作次数，K 是连通区域的大小。

代码实现

#include 
   
    using namespace std;const int maxn = 1e5 + 7;vector
    
     
      > G(2, vector
      
       (maxn));struct Edge {    int u, v;    Edge(int a, int b) : u(a), v(b) {}};void init(int n, int m) {    for (int i = 0; i <= n; ++i) {        G[0][i].clear();        G[1][i].clear();    }}struct UFS {    #define N maxn    int f[N];    unsigned int rank[N];    UFS() {}    void init() {        for (int i = 0; i < N; ++i) {            f[i] = i;            rank[i] = 0;        }    }    int getF(int x) {        return f[x] == x ? x : (f[x] = getF(f[x]));    }    void merge(int x, int y) {        x = getF(x);        y = getF(y);        if (x == y) return;        if (rank[x] < rank[y]) f[x] = y;        else f[y] = x;        if (rank[x] == rank[y]) rank[x]++;    }    bool isUnion(int x, int y) {        return f[x] == f[y];    }};int main() {    int n, m;    while (cin >> n >> m) {        init(n, m);        queue
       
        
         > q[2]; UFS ufs[2]; ufs[0].init(); ufs[1].init(); for (int i = 1; i <= m; ++i) { int id, u, v; cin >> id >> u >> v; G[id - 1][u].push_back(v); G[id - 1][v].push_back(u); q[id - 1].push(make_pair(u, v)); ufs[id - 1].merge(u, v); bool clear0 = false; while (!q[0].empty()) { auto e = q[0].front(); if (ufs[1].isUnion(e.first, e.second)) { q[0].pop(); } else { break; } } bool clear1 = false; while (!q[1].empty()) { auto e = q[1].front(); if (ufs[0].isUnion(e.first, e.second)) { q[1].pop(); } else { break; } } if (q[0].empty() && q[1].empty()) { cout << "A" << endl; } else { cout << "B" << endl; } } } return 0;}
        
       
      
     
    
   

关键点回顾

总结

这个方法利用并查集的特性，通过双版本的并查集操作和队列处理，有效地解决了图的连通性判断问题。这种方法不仅保持了操作的高效性，同时确保了连通性判断的准确性。

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